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顶级数学家是如何思考问题的?

数学家如何思考的问题与“音乐家如何作曲”的问题密切相关。同样,问这个问题是为了了解创造过程是如何运作的。那些对计算机科学特别是人工智能感兴趣的人可以给出这个问题的正确答案。

不幸的是,没有明确的方法来回答数学家是如何思考问题的。但我们可以这样来思考:如果你观看了任何一场国际象棋锦标赛,比赛结束时都会有解说去分析比赛的过程和结果。你会发现每一场比赛都有一个突破点。同样,数学家在研究一个问题时,也会在找到解决方案之前,不断寻求突破点。

因此,分析一些数学证明,对回答我们的问题和确定突破点是有用的。例如,我们都知道,欧几里得定理说有无穷个素数。这个定理的证明比定理本身更美丽。

那么欧几里得是如何意识到质数是无限的呢?首先,欧几里得假设指数是有限的。然后他建立了一个集合,他写下了所有的质数,并把集合中的元素称为P = 。根据这个假设,除了这些数以外的任何数都不应该是质数。然后欧几里得将集合P的所有元素相乘,并在乘积上加1。然后他得到了一个新数字,并称之为N。

除此之外,欧几里得还拥有一些优秀的数学知识,如算术基本定理。例如,他知道如果一个数不是质数,那么它可以被分解成质数因子。因此,当他试图对N进行因式分解时,因为N不是质数,N必须至少能被一个质数整除。但是,所有的质数都在集合P中,并且由于加1而不能将其除。例如,2和3是质数,2 x 3 = 6。2和3能除6,但不能除7(6+1)。所以这里有一个矛盾。N不在质数的集合中,但它是质数。所以指数一定是无限的。

当我们看证明时,我们发现欧几里得做了一些不同于规范的事情。与我们的想法相反,质数是有限的想法并不是创造性的想法。数学逻辑已经在引导我们开始这样的证明。最初的想法是欧几里得提出的N。

我们来证明另一个定理。当小学的孩子们非常淘气的时候,老师在黑板上写下了一道难题,让所有的孩子安静下来。老师让孩子们把从1到100的所有数字加起来。在那一天,一个名叫高斯的德国男孩来到了那个班,他将来会成为最伟大的数学家之一。当老师认为孩子们要花很长时间才能解决这个问题时,高斯在几分钟后又继续和他的朋友们交谈。当高斯的老师问他为什么说话时,他说他已经把问题解决了。那天,班上所有的学生都试着把所有的数字一一相加,但是高斯做了一件不寻常的事。他发现,整个数列有50个101。例如,1+100,2+99,3+98,…,50+51,都是101,而它们有50个。

如果我们仔细观察这种方法,我们会发现,即使是小孩子也能看到这种观察结果。然而,事实是,并不是所有的小孩都这样解决这个问题。此

简而言之,我们有很多很好的例子来分析数学家是如何思考问题的。几乎每个数学家都在修改已有的定理和证明,以找到一个新的想法。但是那些被认为是天才的人做了一些额外的事情。

例如,让我们想象一个音乐家。他不一定非得是约翰·塞巴斯蒂安·巴赫或伊戈尔·斯特拉文斯基。假设我们的音乐家去音乐学院学习了四年,完成了他的硕士和博士学位。现在如果我们让他作曲,他能做到吗?当然,他可以,但我们不确定他是否能创作出像巴赫那样的作品。任何人都可以通过教育或培训学到一些东西。一个在数学系学习四年的学生,一定会学到数学思维。

数学思维教育是一个不断发展的过程。学生们首先上抽象的数学课。然后他们学习如何证明质数是无限的,就像上面的例子一样。然后他们意识到他们也可以用同样的方法证明另一个定理。简而言之,要想成为一名数学家,最主要的事情就是将已知的小证明应用于未知的大证明。经过充分的练习,这些技能会被内化。

数学家通常有一种特殊的思维方式,这种思维状态会随着家庭作业、考试和阅读而出现。这是一个很长的过程,需要很长时间。

到目前为止,我只讨论了一个普通数学家是如何思考的。在这里,我发现在讨论数学思维的发展时,提到一些关键的人物是必要的。拉马努詹的大学成绩,除了数学以外,都太差了,他被大学开除了。他读过的唯一一本数学书是一本算术练习本,没有哪个数学家会读这样的书。然而,拉马努詹写了大量的数学公式,并把它们收集在一个笔记本里。一天,拉马努詹把那个笔记本送给了剑桥大学教授、英国著名数学家歌德弗雷·哈罗德·哈代。

拉马努詹

当然,由于当时每个人都给哈代寄来了数百封信,一开始他并没有把来自印度的信当回事。但是,他在信的一边看到的公式引起了他的注意,因为那与他当时正在思考的一个问题非常相似。后来,哈代和他最好的朋友利特尔伍德开始研究拉马努扬送来的所有公式。他们甚至不能理解一些注释。哈代第一次用“这个人不是江湖骗子”这个短语来形容拉马努詹。利特伍德问为什么,他回答说:“因为他写的那些公式连编都编不出来。”所以这些公式必须是正确的。哈迪在回信中立即邀请拉马努詹到英国。

拉马努詹到来时,哈迪和利特伍德注意到一件非常尴尬的事情。虽然拉马努詹可以把无限的和写成相等的形式,但他对现代数学一无所知。所以他们让他学习现代数学和分析课程。但更尴尬的事情发生了。拉马努詹无法理解抽象思维的基础,对于学习数学的学生来说,这是一种非常不寻常的情况。

拉马努詹是个天才,与欧几里得不同,我们无法理解他是如何思考的。尽管解决了无限加法的问题,他却无法理解最基本的分析技巧,对复变分析也没有一点概念,但他可以研究zeta函数。所以拉马努詹有一个只有他自己知道的不同的想法,一个我们永远无法理解的想法。

有一天,哈迪对这种情况感到疑惑,问他这些公式是怎么写出来的,拉马努詹告诉他,上帝给了他所有的公式,而他只是写下了它们。对我来说,这是一个非常合理的答案,因为拉马努詹是一个24/7的数学家(996什么的弱爆了),他经常忘记吃饭。只有几次他睡着了,他还在梦中继续做数学。当我还是个学生的时候,这样的事情就发生在我的期末考试周。有一次,我很努力地准备微积分考试,我在晚上的梦中继续解答一些问题。

马哈拉诺比斯

在英国,拉马努詹遇到了他的童年好友马哈拉诺比斯。马哈拉诺比斯是一个非常著名的机构的创始人——印度统计机构。马哈拉诺比斯是剑桥大学的学生,也是一名优秀的统计学家。这哥俩小时候在印度的一次数学竞赛中分别获得了第一和第二名。拉马努詹排名第二,据说他哭了好几天,说自己是最伟大的数学家。

一天,马兰诺比斯问拉马努詹一个问题。这条街上有50到500间房子,所有的房子的编号都是从1到n。我们选择的房子左边的房子的号码之和一定等于右边房子的号码之和。他能找到多少这样的房子?

拉马努詹一看到这个问题,就说如果没有其他条件,我们可以用连续分数来解决。一个普通的数学家不可能这么快就得出这个结论。拉马努詹这个例子是一个关于数学家如何思考问题的不同视角。

拉马努詹还有一个类似的故事:出租车牌照案。当拉马努詹病重被送往医院时,哈迪立即乘出租车去看望他。在沉默了好长一段时间后,哈代说他乘坐的出租车的车牌很普通;1729. 拉马努詹毫不犹豫地回答说:“这太不可思议了,它是可以收集成两个不同立方体的最小数字。”

高斯和拉马努詹是天才,他们在很大程度上内化了数学和数字。这类数学家的共同点是,他们不怕复杂的计算。但是,我们应该知道,也有一些伟大的数学家,他们的思维方式与我们前面提到的不同。例如,与数学家拉马努詹不同,主要研究代数几何的亚历山大•格罗塞迪克完全研究抽象数学。代数几何通常与多项式重置根有关。在代数几何中,数学家安德烈·韦尔曾有过一些长期无法解决的问题。

数学家如何思考是一个重要的问题,但是数学家之间的思考方式也有差异。一个人不喜欢另一个人的思维方式。一些数学家甚至不喜欢选择公理。但在进行函数分析时,我们通常会使用公理。

我们讨论了数学思想及其形式,但它还有另一个层面。数学越来越复杂了。有些理论或证明可能需要数百页。例如,有限简单组的分类就有数千页。这就是为什么一些数学家正在研究是否有可能使计算机程序能够控制证明,或者,更好的是,计算机程序能够直接证明。

音乐也是如此,因为音乐和数学是并行发展的。音乐家也要面对类似的事情。例如,有计算机音乐作曲家。人类有一个特定的速度限制,我们不能同时输入八个符号,但可以在电脑上做任何事情。所以有人想知道我们是否能在数学思维中为计算机找到一席之地。这个想法提出了一个问题:计算机能自己开始做数学吗?艾伦·图灵第一个提出了这个问题。作为一个总结,当我们研究数学家是如何思考的时候,我们也应该开始思考如果计算机在未来开始像数学家一样思考,会怎样?

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